[역학 1] 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 (7) - 홀로노믹 구속 조건이 주어진 라그랑주 방정식

5. 홀로노믹 구속 조건이 주어진 라그랑주 방정식

5.1. 홀로노믹 구속 조건의 표현

지난 글에서 홀로노믹 구속과 비홀로노믹 구속에 대해서 얘기했었는데요, 학부 과목 [역학 1] 수준에서는 구속 조건이 주어진 라그랑주 방정식은 홀로노믹 구속에 대해서만 다루겠습니다.

홀로노믹 구속은 일반화 좌표계와 시간 사이의 대수적 관계식이 존재하는 구속으로

$$f_k(q_{i},\, t) = 0, \quad \alpha = 1,\, 2,\, \cdots,\, 3N, \quad k = 1,\ 2,\, m$$

와 같이 표현됩니다. 그리고 구속 조건

$$\sum_{i} A_i \dot{q}_i + B = 0$$

은 속도에 의존하므로 일반적으로는 비홀로노믹이지만, 홀로노믹 구속 조건의 미분일 수도 있으므로 반드시 비홀로노믹이라고 할 수는 없습니다. 실제로

$$A_i = \dfrac{\partial f}{\partial q_i}, \qquad B = \dfrac{\partial f}{\partial t}$$

인 경우에는

$$\sum_{i} \dfrac{\partial f}{\partial q_i} \dot{q}_i + \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{df}{dt} = 0$$

이므로

$$f(q_i,\, t) = 0$$

와 동치입니다.

 

 

5.2. 홀로노믹 구속 조건이 있을 때 라그랑주 방정식

변분법 세 번째 글에서 구속조건

$$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial g_j}{\partial y_i}dy_i = 0$$

이 주어진 오일러 방정식은

$$\dfrac{\partial f}{\partial y_i} - \dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y_i '} + \sum_{j = 1}^{m} \lambda_j(x) \dfrac{\partial g_j}{\partial y_i} = 0$$

임을 확인했습니다. 따라서 구속 조건

$$f_k(q_j;\, t) = 0, \quad k = 1,\, 2,\, \cdots,\, m$$

또는

$$\sum_{j = 1}^{s} \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j}\dot{q}_j = 0, \quad s = 3N - m$$

또는

$$\sum_{j = 1}^{s} \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j}dq_j = 0$$

을 받는 경우에 라그랑주 방정식은

$$\dfrac{\partial L}{\partial q_j} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j } + \sum_{k = 1}^{m} \lambda_k(t) \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j} = 0 \qquad (7.5.1)$$

입니다. 만약 $\dfrac{\partial f_k}{\partial t} \neq 0$이어서, 즉 구속방정식이

$$f_k(t,\, q_j;\, t) = 0$$

또는

$$\sum_{j = 1}^{s} \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j}dq_j + \dfrac{\partial f_k}{\partial t}dt= 0$$

인 경우에는 라그랑주 방정식이 어떻게 될까요? 이 경우에도 (7.5.1)과 같습니다. 왜 그럴까요? 변분법 세 번째 글에서 오일러 방정식 유도 과의 초반부는 다음과 같았습니다.

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$y_i$에 대한 범함수 $f \left\{ y_i,\, y_i' ;\, x \right\}$를 살펴봅시다. 그러면 $J$의 $\alpha$에 대한 편미분은

$$\dfrac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \sum_{i=1}^{n} \left\{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y_i} - \dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y_i'} \right) \dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha} \right\} dx$$

이 됩니다. 그런데 구속 조건

$$g\left\{ y_i;\, x \right\} = 0$$

가 주어져 있다면 $\dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha}$들은 더 이상 독립이 아닙니다. 즉,

$$\dfrac{dg}{d \alpha} = \dfrac{\partial g}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \alpha} + \sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{\partial g}{\partial y_i} \dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha} \right) = 0$$

인데 $$\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} = 0$$이므로

$$\dfrac{dg}{d \alpha} = \sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{\partial g}{\partial y_i} \dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha} \right) = 0$$

입니다. 그런데 $y_i(\alpha, x) = y_i(0, x) + \alpha \eta_i(x)$이므로

$$\sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{\partial g}{\partial y_i} \eta_i(x) \right)=0$$

입니다.

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이제 이 증명의 아이디어를 그대로 가져와서 초반부를 라그랑주 역학의 상황에서 다시 써봅시다.

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해밀턴의 원리에 의하면 입자계에서 입자는 액션

$$S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_j,\, \dot{q}_j;\, t)dt$$

이 최소화되는 경로를 따라 움직이고, 그러면 $S$의 $\alpha$에 대한 편미분은

$$\dfrac{\partial S}{\partial \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^{n} \left\{ \left( \dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \dfrac{\partial q_i}{\partial \alpha} \right\} dt$$

이 됩니다. 그런데 구속 조건

$$f_k(t,\, q_j;\, t) = 0$$

이 주어져 있다면 

$$\dfrac{df_k}{d \alpha} = \dfrac{\partial f_k}{\partial t} \dfrac{\partial t}{\partial \alpha} + \sum_{j=1}^{m} \left( \dfrac{\partial f_k}{\partial q_i} \dfrac{\partial q_i}{\partial \alpha} \right) = 0$$

인데 $$\dfrac{\partial t}{\partial \alpha} = 0$$이므로

$$\dfrac{df_k}{d \alpha} = \sum_{j = 1}^{m} \left( \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j} \dfrac{\partial q_j}{\partial \alpha} \right) = 0$$

입니다. 그런데 $q_j(\alpha, x) = q_i(0, x) + \alpha \eta_i(x)$이므로

$$\sum_{j=1}^{m} \left( \dfrac{\partial f_k}{\partial q_i} \eta_i(x) \right)=0$$

입니다.

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어떤가요? 뭐가 달리진 게 있나요? 전혀 없습니다. 왜 그럴까요? 변분법 문제는 경로의 변화에 대한 범함수의 적분이 극값을 갖는 문제입니다. 그렇기 때문에 구속조건이 $f_k(q_j;\, t)$로 주어지든 $f_k(t,\, q_j;\, t)$로 주어지든 어차피

$$\dfrac{\partial t}{\partial \alpha} = 0$$

이므로

$$\dfrac{df_k}{d \alpha} = \dfrac{\partial f_k}{\partial t} \dfrac{\partial t}{\partial \alpha} + \sum_{j=1}^{m} \left( \dfrac{\partial f_k}{\partial q_i} \dfrac{\partial q_i}{\partial \alpha} \right) = 0$$

에서

$$\dfrac{\partial f_k}{\partial t}$$

가 없어집니다. 이것이 구속조건이 $f_k(q_j;\, t)$로 주어지든 $f_k(t,\, q_j;\, t)$로 주어지든 라그랑주 방정식은 동일하게

$$\dfrac{\partial L}{\partial q_j} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} + \sum_{k = 1}^{m} \lambda_k(t) \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j} = 0 \qquad (7.5.1)$$

인 이유입니다.

 

5.3. 구속력

구속조건이 있는 라그랑주 방정식을 정리하면

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \dfrac{\partial L}{\partial q_j} + \sum_{k = 1}^{m} \lambda_k(t) \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j}$$

이 됩니다. 그런데 일반화 운동량과 일반화 힘을 생각해보면 먼저 일반화 운동량은

$$p_j = \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}$$

이고, 일반화 힘 $Q_j$는

$$Q_j = \dot{p}_j - \dfrac{\partial T}{\partial q_j}$$

이므로 라그랑주 방정식을 다시 정리하면

$$\begin{align} Q_j + \dfrac{\partial T}{\partial q_j} & = \dfrac{\partial L}{\partial q_j} + \sum_{k = 1}^{m} \lambda_k(t) \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j} \\[3pt] Q_j & = - \dfrac{\partial U}{\partial q_j} + \sum_{k = 1}^{m} \lambda_k(t) \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j} \end{align}$$

여기서 입자가 받는 힘은 $Q_j$이고, (7.3.7)에 의하면 $- \dfrac{\partial U}{\partial q_j}$는 퍼텐셜 에너지의 일반화 좌표에 대한 미분에 의해 생기는 일반화 힘(보존력)입니다. 따라서

$$\sum_{k = 1}^{m} \lambda_k(t) \dfrac{\partial f_k}{\partial q_j} \qquad (7.5.2)$$

는 입자가 보존력 외에 추가로 받는 힘인데, 이 항은 구속조건 $f_k$가 주어지면서 생긴 것이라는 점을 생각하면 식 (7.5.2)는 구속력이라는 것을 알 수 있습니다.

 

5.4. 구속 조건이 주어진 라그랑주 방정식 예제

Example 7.9. Let us consider again the case of the disk rolling down an inclined plane (see Example 6.5 and Figure 6-7). Find the equations of motion, the force of constraint, and angular acceleration.

Figure 6-7

 

Example 7.10. A particle of mass $m$ starts at rest on top of a smooth fixed hemisphere of radius $a$. Find the force of constraint, and determine the angle at which the particle leaves the hemisphere.

Figure 7-7