[역학 1] 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 (4) - 일반화 운동량과 일반화 힘

3. 라그랑주 방정식

3.3. 일반화 운동량과 일반화 힘

지난 글에서 예고했듯이 이번 글에서는 Marion 역학 책에서 소개하는 방법으로 라그랑주 방정식을 유도하여 일반화 운동량과 일반화 힘을 정의해보겠습니다.

 

먼저 $q_j$에 대응되는 일반화 운동량 $p_j$는

$$p_j = \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \qquad (7.3.5)$$

으로 정의할 수 있습니다.

일반화된 힘 $Q$도 정의할 수 있는데, 경로가 $\delta x_i$만큼 변했을 때 하는 가상의 일 $\delta W$는

$$\delta W = \sum_{i}F_i \delta x_i = \sum_{i,j} F_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \delta q_j$$

인데, 일반화된 힘은 일반화 좌표에 대하여 

$$\delta W = \sum_{j} Q_j \delta q_j$$

로 나타내는 것이 자연스럽습니다. 따라서

$$Q_j = \sum_{i} F_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \qquad (7.3.6)$$

로 정의됩니다. 또힌 데카르트 좌표계에서 수행했듯이 일반화된 힘은 퍼텐셜에너지를 일반화 좌표계로 미분한 것의 음수라고 정의할 수도 있으므로

$$Q_j = - \dfrac{\partial U}{\partial q_j} \qquad (7.3.7)$$

입니다.

 

 

이제 지금까지 나온 식들을 정리해 봅시다.

$$\begin{align} p_j & = \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \left( \sum_{i} \dfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 \right) = \sum_{i} m\dot{x}_i \dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} \end{align}$$

그런데 지난 글에서 

$$\dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} = \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \qquad (7.3.3)$$

임을 확인했으므로

$$p_j = \sum_{i} m \dot{x}_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j}$$

이를 시간에 대해 미분하면

$$\dot{p}_j = \sum_{i} \left( m \ddot{x}_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} + m \dot{x}_i \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \right)$$

이고, 마지막 항의 시간에 대핸 미분을 계산하면

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} = \sum_{k} \dfrac{\partial^2 x_i}{\partial q_k \partial q_j} \dot{q}_k + \dfrac{\partial^2 x_i}{\partial q_j \partial t}$$

이므로

$$\dot{p}_j = \sum_{i} m\ddot{x}_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} + \sum_{i, k} m\dot{x}_i \dfrac{\partial^2 x_i}{\partial q_k \partial q_j} \dot{q}_k + \sum_{i} m\dot{x}_i \dfrac{\partial^2 x_i}{\partial q_j \partial t}$$

여기서

$$\sum_{i} m\ddot{x}_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} = Q_j$$

이고,

$$\begin{align} \dfrac{\partial T}{\partial q_j} & = \dfrac{\partial}{\partial q_j} \left( \sum_{i} \dfrac{1}{2}m \dot{x}_i^2 \right) = \sum_{i} m \dot{x}_i \dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \\[3pt] & = \sum_{i} m \dot{x}_i \dfrac{\partial}{\partial q_j} \left( \sum_{k} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_k} \dot{q}_k  + \dfrac{\partial x_i}{\partial t} \right) \end{align}$$

이므로

$$\dot{p}_j = Q_j + \dfrac{\partial T}{\partial q_j} \qquad (7.3.8)$$

를 얻습니다. 한편 (7.3.5)와 (7.3.7), (7.3.8)에 의해

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \dfrac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j = - \dfrac{\partial U}{\partial q_j}$$

이고, $U$는 데카르트 좌표만의 함수이고, 데카르트 좌표는 일반화 속도와는 무관하므로

$$\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j} = 0$$

따라서

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}_j} - \dfrac{\partial (T-U)}{\partial q_j} = 0$$

입니다. 따라서

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} - \dfrac{\partial L}{\partial q_j} = 0$$

을 얻으며, 이것은 이전 글에서 얻은 라그랑주 운동 방정식입니다.

 

일반화 운동량을

$$p_j = \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}$$

로, 일반화 힘을

$$\delta W = \sum_{j} Q_j \delta q_j, \qquad Q_j = -\dfrac{\partial U}{\partial q_j}$$

와 같이 두 가지 식을 모두 만족시키도록 자연스럽게 정의했을 때 라그랑주 운동 방정식이 잘 유도되는 것을 통해 일반화 운동량과 일반화 힘이 잘 정의되는 개념임을 알 수 있습니다.