[역학 1] 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 (8) - 일반화 좌표로 나타내는 운동에너지

6. 일반화 좌표로 나타내는 운동에너지

6.1. 일반적인 경우

데카르트 좌표계에서 운동에너지는

$$T = \dfrac{1}{2} \sum_{\alpha = 1}^{n} \sum_{i=1}^{3} m_{\alpha} \dot{x}_{\alpha,i}^2$$

입니다. $x_{\alpha, i}$는 $q_j\, (j = 1,\, 2,\, \cdots,\, s)$와 $t$의 함수로서

$$x_{\alpha, i} = x_{\alpha, i}(q_j,\, t)$$

로 표현 가능하므로

$$\dot{x}_{\alpha, i} = \sum_{j=1}^{s} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_j} \dot{q}_j + \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial t}$$

입니다. 따라서 속도의 제곱은

$$\dot{x}_{\alpha, i}^2 = \sum_{j,k} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_j} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_k} \dot{q}_j \dot{q}_k + 2 \sum_{j} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_j} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial t} \dot{q}_j + \left( \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial t} \right)^2$$

이므로 운동에너지는

$$\begin{align} T & = \dfrac{1}{2} \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left[ \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_j} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_k} \dot{q}_j \dot{q}_k \right. \\[3pt] & \qquad \left. + 2 \sum_{i,j} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial q_j} \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial t} \dot{q}_j + \sum_{i} \left( \dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial t} \right)^2 \right] \qquad (7.6.1) \end{align}$$

입니다. 일반적으로 운동에너지는

$$T = \sum_{j,k} a_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k + \sum_{j} b_j \dot{q}_j  + c \qquad (7.6.2)$$

의 꼴입니다.

 

 

6.2. 데카르트 좌표가 일반화 좌표만에 대한 함수인 경우

데카르트 좌표가 일반화 좌표만에 대한 함수인 경우, 즉

$$x_{\alpha, i} = x_{\alpha, i}(q_j)$$

인 경우 $\dfrac{\partial x_{\alpha, i}}{\partial t} = 0$이므로

$$T = \sum_{j,k} a_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k \qquad (7.6.3)$$

입니다. 즉, 운동에너지는 일반화 속도에 대한 2차 동차 함수입니다. 한편

$$\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{k} a_{lk} \dot{q}_k + \sum_{j} a_{jl} \dot{q}_{j}$$

에서

$$\sum_{l} \dot{q}_l \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{k, l} a_{lk} \dot{q}_k \dot{q}_l + \sum_{j,l} a_{jl} \dot{q}_{j} \dot{q}_l$$

이고, 이는 다시

$$\sum_{l} \dot{q}_l \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = 2 \sum_{j, k} a_{jk} \dot{q}_j \dot{q}_k = 2T$$

로 쓸 수 있습니다.