[역학 1] 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 (3) - 라그랑주 방정식

3. 라그랑주 방정식

3.1. 일반화 좌표계에서 라그랑주 방정식

라그랑주 (운동) 방정식은 다음과 같습니다.

$$\dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0 \qquad (7.3.1)$$

식 (7.1.1)과 다른 점은 이 식은 일반화 좌표를 어떻게 잡아도 성립함을, 즉 뉴턴의 운동방정식과 동치라는 것을 주장한다는 것입니다.

 

일단 데카르트 좌표계에서 먼저 살펴보면 보존장에서 $T = T(\dot{x}_i)$, $U = U(x_i)$이므로

$$\begin{align} \dfrac{\partial L}{\partial x_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} = 0 \\[3pt] \Rightarrow \dfrac{\partial (-U)}{\partial x_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i} = 0 \end{align}$$

그리고

$$ - \dfrac{\partial U}{\partial x_i} = F_i$$

이고,

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i} = \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial}{\partial \dot{x}_i} m \left( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \right) = \dfrac{d}{dt}(m \dot{x}_i) = \dot{p}_i$$

이므로 뉴턴의 운동 방정식

$$F_i = \dot{p}_i$$

을 얻습니다.

 

 

3.2. 일반화 좌표계에서 라그랑주 방정식과 뉴턴 역학의 등가

지금부터는 일반화 좌표계로 나타내어진 라그랑지안에 대해서도 식 (7.3.1)이 성립합을 보이려고 합니다. Marion 일반역학 책에 소개되어 있는 방법 말고 구글링하다가 하버드 대학 수업 자료로 추정되는 문서를 찾아서 인용해 봅니다. 

(https://scholar.harvard.edu › files › files › cmchap6)

 

데카르트 좌표계에서 라그랑주 운동 방정식이 성립함을 알 때, 일반화 좌표계에서도 라그랑주 운동 방정식이 성립함을 확인합니다. 먼저

$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^{3n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} \qquad (7.3.2)$$

이고, $x_i$는 $q_j(t)$와 $t$에 대한 함수이므로

$$\dot{x}_i = \sum_{j=1}^{3n} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \dfrac{d q_j}{dt} + \dfrac{\partial x_i}{\partial t} = \sum_{j=1}^{3n} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \dfrac{\partial x_i}{\partial t}$$

입니다. 한편,

$$ \dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{k=1}^{3n} \left\{ \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \left( \dfrac{\partial x_i}{\partial q_k} \right) \dot{q}_k + \dfrac{\partial x_i}{\partial q_k} \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \left( \dot{q}_k \right) \right\} + \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \dfrac{\partial x_i}{\partial t} $$

이고, $x$는 $\dot{q_j}$의 함수가 아니라는 점을 이용하고, $q_j$를 서로 독립이 되도록 가정하면

$$\dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{k=1}^{3n} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_k} \dfrac{\partial \dot{q}_k}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{k=1}^{3n} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_k} \delta_{kj} $$

입니다. 따라서

$$\dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_j} = \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \qquad (7.3.3)$$

를 얻습니다. 이제 (7.3.3)을 (7.3.2)에 대입하면

$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^{3n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j}$$

이를 시간에 대해 미분하면

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^{3n} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \right) \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^{3n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \qquad (7.3.4)$$

식 (7.3.4)의 우변의 두 번째 항의 시간에 대한 미분을 정리하면

$$\begin{align} \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} & = \sum_{k=1}^{3n} \dfrac{\partial}{\partial q_k} \left( \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \right) \dfrac{\partial q_k}{\partial t} + \dfrac{\partial}{\partial t} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \\[3pt] & = \dfrac{\partial}{\partial q_j} \left( \sum_{k=1}^{3n} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_k} \dot{q}_k + \dfrac{\partial x_i}{\partial t} \right) \\[3pt] & = \dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_m} \end{align}$$

이 나오고, 식 (7.3.4)의 우변의 첫 번째 항에서

$$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \right) = \dfrac{\partial L}{\partial x_i}$$

임은 이미 알고 있으므로

$$\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^{3n} \dfrac{\partial L}{\partial x_i} \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^{3n} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \dfrac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j}$$

우변은 연쇄 법칙에 의해 $L$의 $q_j$에 대한 미분임을 알 수 있습니다. 따라서

$$\dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0 \qquad (7.3.1)$$

을 얻습니다.

 

갑자기 그동안 잘만 써오던 Marion 일반역학 책을 인용하지 않고 왜 다른 자료를 인용했는지 의문이 들었을 수 있습니다. 그 이유는 제 생각에 Marion 일반역학 책에 나온 증명은 엄밀하게 수학적으로 타당하다고 느껴지지는 않았기 때문입니다. 우리는 뉴턴의 운동 법칙이 실험으로서 사실이라는 점을 공리로 삼고, 데카르트 좌표계에서 라그랑주 운동 방정식이 뉴턴의 운동 법칙과 동치임을 확인했습니다. 그렇기 때문에 일반화 좌표계에서도 라그랑주 운동 방정식이 성립함을 확인하기 위해서는 데카르트 좌표계에서 라그랑주 방정식이 성립한다는 사실로부터 연역적으로 유도해야 합니다.

 

Marion 일반역학 책에 나온 증명은 데카르트 좌표계에서 정의된 운동량과 힘을 일반화 좌표계로 확장하여 정의한 후, 이렇게 정의된 운동량과 힘의 관계가 테카르트 좌표계에서 성립했던 관계와 같을 것이라는 가정이 들어간다고 느껴졌습니다. 즉, 연역논증은 아니고, 오히려 귀납추론의 성격이 있다고 생각하였습니다.

 

그렇다면 Marion 역학 책에 소개된 증명이 쓸모 없는 것일까요? 그렇지는 않습니다. 윗 문단에서 설명했듯이 일반화된 운동량과 힘이라는 개념을 새로 정의할 수 있다는 점에서 의미 있습니다. 따라서 일반화된 운동량과 힘을 정의하고, 이들의 관계가 데카르트 좌표계에서 운동량과 힘의 관계와 유사하다는 가정을 통해 라그랑주 운동 방정식을 얻을 수 있다면, 일반화된 운동량과 힘은 잘 정의되는 개념인 것입니다. 다음 글에서 일반화된 힘과 운동량에 대해 살펴봅시다.