[역학 1] 변분법 (3) - 구속 조건이 있을 때 오일러 방정식

5. 구속 조건이 있을 때 오일러 방정식

5.1. 구속 조건이 있을 때 오일러 방정식

많은 변분법 문제에서는 구속 조건이 있습니다. 예를 들어 지난 글에서 살펴 본 예제 6.4와 같이 구면 위의 측지선을 구하는 문제에서는 경로가 구면 위의 선이어야 한다는 구속 조건이 붙었습니다.

$y_i$에 대한 범함수 $f \left\{ y_i,\, y_i' ;\, x \right\}$를 살펴봅시다. 그러면 $J$의 $\alpha$에 대한 편미분은

$$\dfrac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \sum_{i=1}^{n} \left\{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y_i} - \dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y_i'} \right) \dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha} \right\} dx$$

이 됩니다. 그런데 구속 조건

$$g\left\{ y_i;\, x \right\} = 0$$

가 주어져 있다면 $\dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha}$들은 더 이상 독립이 아닙니다. 즉,

$$\dfrac{dg}{d \alpha} = \dfrac{\partial g}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \alpha} + \sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{\partial g}{\partial y_i} \dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha} \right) = 0$$

인데 $$\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} = 0$$이므로

$$\dfrac{dg}{d \alpha} = \sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{\partial g}{\partial y_i} \dfrac{\partial y_i}{\partial \alpha} \right) = 0$$

입니다. 그런데 $y_i(\alpha, x) = y_i(0, x) + \alpha \eta_i(x)$이므로

$$\sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{\partial g}{\partial y_i} \eta_i(x) \right)=0$$

입니다. 이를 보기 좋게(?) 행렬로 나타내면

$$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial g_1}{\partial y_1} & \dfrac{\partial g_1}{\partial y_2} & \cdots & \dfrac{\partial g_1}{\partial y_n} \\ \dfrac{\partial g_2}{\partial y_1} & \dfrac{\partial g_2}{y_2} & \cdots & \dfrac{\partial g_2}{\partial y_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial g_m}{\partial y_1} & \dfrac{\partial g_m}{\partial y_2} & \cdots & \dfrac{\partial g_m}{\partial y_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1(x) \\ \eta_2(x) \\ \vdots \\ \eta_n(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \qquad (6.5.1)$$

그리고 $J$의 $\alpha$에 대한 편미분에서

$$\sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y_i} - \dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y_i'} \right) \eta_i(x) = 0$$

이므로 $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y_i} - \dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y_i} = E_i$라 하면 이 역시 다음과 같이 행렬 형태로 나타낼 수 있습니다.

$$ \begin{pmatrix} E_1 & E_2 & \cdots & E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1(x) \\ \eta_2(x) \\ \vdots \\ \eta_n(x) \end{pmatrix} = 0 \qquad (6.5.2)$$

식 (6.5.1)과 (6.5.2)를 종합하면 행렬

$$ \begin{pmatrix} E_1 & E_2 & \cdots & E_n \end{pmatrix}$$

편미분계수 행렬

$$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial g_1}{\partial y_1} & \dfrac{\partial g_1}{\partial y_2} & \cdots & \dfrac{\partial g_1}{\partial y_n} \\ \dfrac{\partial g_2}{\partial y_1} & \dfrac{\partial g_2}{y_2} & \cdots & \dfrac{\partial g_2}{\partial y_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial g_m}{\partial y_1} & \dfrac{\partial g_m}{\partial y_2} & \cdots & \dfrac{\partial g_m}{\partial y_n} \end{pmatrix} $$

의 행백터의 일차결합으로 표현됩을 알 수 있습니다. 즉,

$$E_i = \lambda_1(x) \dfrac{\partial g_1}{\partial y_i} + \lambda_2(x) \dfrac{\partial g_2}{\partial y_i} + \cdots + \lambda_m(x) \dfrac{\partial g_m}{\partial y_i}$$

이고, 여기서 $\lambda$를 라그랑주 승수라고 합니다.

따라서 구속조건이 주어진 변분법 문제에서 다음 방정식을 풀어야 합니다.

$$\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial y_i} - \dfrac{d}{dx} \dfrac{\partial f}{\partial y_i '} + \displaystyle \sum_{j=1}^{m} \lambda_j(x) \dfrac{\partial g_j}{\partial y_i} = 0 \\ g_j \left\{ y_i ;\, x \right\} =0 \end{cases} \qquad (6.5.3)$$

식 (6.5.3)의 두 번째 식은 다음 미분방정식으로도 쓸 수 있습니다.

$$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial g_j}{\partial y_i}dy_i = 0 \qquad(6.5.4)$$

 

 

5.2. 측지선 문제

측지선 문제를 구속 조건이 주어진 변분법 문제로 풀어보겠습니다. 다만, 이 풀이는 다소 발상적이어서 어렵습니다.

 

Example 6.4. A geodesic is a line that represents the shortest path between any two points when the path is restricted to a particular surface. Find geodesic on a sphere.

 

5.3. $g\left\{y_i;\, x \right\}$ vs $g\left\{ x,\, y_i;\, x \right\}$

위 예제의 풀이에서 이상한 점을 느끼시지는 않았는지요? 구속 조건이

$$g\left\{ y,\, z;\, x \right\} = R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0 \qquad (6.5.5)$$

으로 주어졌고, 구속 조건 $g_j \left\{ y_i ;\, x \right\} =0$은

$$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial g_j}{\partial y_i}dy_i = 0 \qquad (6.5.4)$$

으로 바꾸어 쓸 수 있다고 했습니다. 그러면 풀이 과정에서

$$x + yy' + zz' = 0 \qquad (6.5.6)$$

이 아니라

$$yy' + zz' = 0 \qquad (6.5.7)$$

이라고 했어야 하지 않을까요? 분명 (6.5.4)에 의하면 (6.5.7)이 맞는 것 같습니다. 그러나 직관적으로는 (6.5.6)이 맞는 것 같습니다.

 

정답부터 말하자면 풀이에서처럼 (6.5.6)이 맞습니다. 사실 구속조건 

$$g\left\{ y,\, z;\, x \right\} = R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$$

은 $g\left\{ y,\, z;\, x \right\}$로 표기하는 것보다 $g\left\{ x,\, y,\, z;\, x \right\}$로 표기하는 것이 좀 더 엄밀합니다. 이 사실을 일단 받아들인다면 $R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$은

$$x + yy' + zz' = 0 \qquad (6.5.6)$$

와 동치라는 것은 당연해집니다.

 

그렇다면 왜 $R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$은 $g\left\{ y,\, z;\, x \right\}$로 표기하는 것보다 $g\left\{ x,\, y,\, z;\, x \right\}$로 표기하는 것이 좀 더 엄밀할까요? 구속조건에는 중요한 조건이 있습니다. 구속조건의 변수가 $n$개라면, $n-1$개의 변수의 값이 정해졌다면, 나머지 하나의 변수의 값이 특정되어야 합니다. (이런 성질을 홀로노믹이라고 합니다.)

 

즉, 만약에 $R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$이 $g\left\{ y,\, z;\, x \right\}$이라면 이 구속조건이 $y$, $z$의 두 개의 변수에 대한 구속조건이라는 뜻인데, $y$ 값만 정해지면 $z$ 값이 특정되나요? 전혀 특정되지 않습니다.

 

이번에는 $R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$이 $g\left\{ x,\, y,\, z;\, x \right\}$로 $x$, $y$, $z$의 세 변수에 대한 구속조건이라고 합시다. $x$, $y$의 값이 정해지면 $z$의 값이 특정되나요? 그렇습니다. 부호의 차이는 있겠지만 $z$ 값으로 가능한 것이 $R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$이라는 대수적인 관계에 의해서 추려진다는 점에서 특정된다고 할 수 있습니다.

 

그래서 구속 조건

$$R^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$$

은 실은 $g\left\{ x,\, y,\, z;\, x \right\}$인 것이고, 이와 동치인 미분 형식의 구속조건은

$$x + yy' + zz' = 0$$

인 것입니다.