4. 홀로노믹 구속과 비홀로노믹 구속 4.1. 홀로노믹 구속 좌표와 시간 사이의 대수적인 관계식으로 나타내어지는 구속을 홀로노믹 구속이라고 합니다. 즉, $$f_k(q_i,\, t) = 0, \quad 1 \le i \le 3N, \quad k = 1,\, 2,\, \cdots,\, m \qquad (7.4.1)$$ 의 꼴로 나타내어지는 구속을 홀로노믹 구속이라고 합니다. 홀로노믹 구속의 대표적인 예시는 평면 위를 미끄러지지 않고 구르는 원통이 있습니다. 원통이 이동한 거리를 $s$, 원통이 구른 각을 $\theta$라 하면 $$s = R \theta \qquad(7.4.2)$$ 가 성립하기 때문입니다. 즉, $\theta$를 알면 $s$가 자동으로 결정됩니다. 구 위를 움직이는 입자의 구속조건 $$x^..
3. 라그랑주 방정식 3.4. 예제 Example 7.4. A partiacle of mass $m$ is constrained to move on the inside surface of a smooth cone of half-angle $\alpha$ (see Figure 7-2). The particle is subject to o gravitational force. Determine a a set of generalized coordinates and determine the constraints. Find Lagrange's equations of motion. Example 7.5. The point of support of a simple pendulum of length $b$ moves ..
3. 라그랑주 방정식 3.3. 일반화 운동량과 일반화 힘 지난 글에서 예고했듯이 이번 글에서는 Marion 역학 책에서 소개하는 방법으로 라그랑주 방정식을 유도하여 일반화 운동량과 일반화 힘을 정의해보겠습니다. 먼저 $q_j$에 대응되는 일반화 운동량 $p_j$는 $$p_j = \dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \qquad (7.3.5)$$ 으로 정의할 수 있습니다. 일반화된 힘 $Q$도 정의할 수 있는데, 경로가 $\delta x_i$만큼 변했을 때 하는 가상의 일 $\delta W$는 $$\delta W = \sum_{i}F_i \delta x_i = \sum_{i,j} F_i \dfrac{\partial x_i}{\partial q_j} \delta q_j$$ 인..
3. 라그랑주 방정식 3.1. 일반화 좌표계에서 라그랑주 방정식 라그랑주 (운동) 방정식은 다음과 같습니다. $$\dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0 \qquad (7.3.1)$$ 식 (7.1.1)과 다른 점은 이 식은 일반화 좌표를 어떻게 잡아도 성립함을, 즉 뉴턴의 운동방정식과 동치라는 것을 주장한다는 것입니다. 일단 데카르트 좌표계에서 먼저 살펴보면 보존장에서 $T = T(\dot{x}_i)$, $U = U(x_i)$이므로 $$\begin{align} \dfrac{\partial L}{\partial x_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\..
2. 일반화 좌표 2.1. 계의 자유도 $n$개의 입자가 있는 계에서 이 입자들의 위치를 모두 정하는 데에는 $3n$개의 좌표가 필요합니다. 그러나 많은 문제들은 구속 조건이 있기 마련인데, 만약 구속조건이 $m$개가 주어졌다면 서로 독립인 좌표는 $3n - m$개입니다. 예를 들어 구 위에서 움직이는 입자를 생각한다면, 입자의 위치의 구속 방정식은 $$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$$ 또는 $$r = R$$ 로 하나이므로 입자의 위치를 나타내는 데 필요한 좌표는 두 개 뿐입니다. 이 $s = 3n - m$을 계의 자유도라고 부릅니다. 2.2. 일반화 좌표와 고유 일반화 좌표 자유도가 $s$개인 계를 설명하기 위해서는 $s$개의 좌표가 필요합니다. 그러나, 이 $s$개의 좌표가 꼭 데카르트 좌표..
1. 해밀턴의 원리 1.1. 해밀턴의 원리와 이의 수학적 표현: 라그랑주 운동 방정식 해밀턴의 원리는 다음과 같습니다. Of all the possible paths along which a dynamical system may move from one point to another within a specified time interval (consistent with any constraints), the actual path followed is that which minimizes the time integral of the difference between the kinetic and potential energies. 특정한 시간 안에 어떤 구속을 받으면서 한 점에서 다른 점으로 이동하는 역학..
5. 구속 조건이 있을 때 오일러 방정식 5.3. 적분형 구속 조건이 주어졌을 경우 이번 글에서는 구속 조건이 적분 형태로 주어진 경우를 살펴보갰습니다. 적분 $$J[y] = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left\{ y,\, y' ;\, x \right\} dx$$ 가 극값을 가지게 하고, 구속 조건이 $$K[y] = \int_{x_1}^{x_2} g\left\{ y,\, y';\, x \right\} dx = L$$ 로 주어졌다면 라그랑주 승수법에 의하여 $$\int_{x_1}^{x_2} (f +\lambda g)dx$$ 가 극값을 가지게 하는 $\lambda$가 존재합니다. 따라서 다음 미분방정식이 성립합니다. $$\dfrac{\partial f}{\partial y} ..
