[역학 1] 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 (1) - 해밀턴의 원리

1. 해밀턴의 원리

1.1. 해밀턴의 원리와 이의 수학적 표현: 라그랑주 운동 방정식

해밀턴의 원리는 다음과 같습니다.

 

Of all the possible paths along which a dynamical system may move from one point to another within a specified time interval (consistent with any constraints), the actual path followed is that which minimizes the time integral of the difference between the kinetic and potential energies.

 

특정한 시간 안에 어떤 구속을 받으면서 한 점에서 다른 점으로 이동하는 역학계에서 모든 경로들 중 실제로 따르는 경로는 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이의 시간에 대한 적분이 최소가 되는 경로이다.

 

변분 표기법을 사용하면 이 원리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\delta \int_{t_1}^{t_2}(T - U) dt = 0$$

고정된 직교 좌표계를 사용하면 입자의 운동에너지는 $x_i$만의 함수이고, 보존장이라면 퍼텐셜 에너지는 $x_i$의 함수이므로

$$T = T(x_i'), \qquad U = U(x_i)$$

이고, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이를 라그랑지안이라고 정의하면

$$T - U = L(x_i,\, x_i')$$

입니다. 즉,

$$\delta \int_{t_1}^{t_2} L(x_i,\, x_i') = 0$$

이 변분 문제를 오일러 방정식에 대입하면

$$\dfrac{\partial L}{\partial x_i} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} = 0 \quad(i = 1,\, 2,\, 3) \qquad (7.1.1)$$

을 얻습니다. 이를 라그랑주 운동 방정식이라고 부릅니다.

 

한편 라그랑지안의 시간에 대한 적분

$$\int_{t_1}^{t_2}(T - U) dt$$

을 액션(작용)이라고 부르며, 해밀턴의 원리는 이 액션이 최소가 되어야 한다는 의미이므로 최소 작용 원리이라고 부르기도 합니다.

 

 

1.2. 라그랑주 운동 방정식의 적용

1차원 조화 진동자를 살펴봅시다. 라그랑지안은

$$L = T - U = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 - \dfrac{1}{2}kx^2$$

이므로 라그랑주 운동방정식은

$$\dfrac{\partial L}{\partial x} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0$$

$$ kx + m\ddot{x} = 0$$

이 되어 우리가 아는 식이 나왔습니다. 그냥 힘 분석해서 $F = ma$ 대입하면 되지 뭘 편미분을 동원하는 변분 원리를 동원하는 해밀턴 원리를 쓰는지 의문이 들 수 있겠습니다. 그러나 라그랑주 운동방정식의 진가는 따로 있습니다.

 

우선 단진자를 생각해봅시다. 단진자에서 라그랑지안은 다음과 같습니다.

$$L = T - U = \dfrac{1}{2}m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos \theta)$$

이를 라그랑주 운동방정식에 대입하면

$$\dfrac{\partial L}{\partial \theta} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 0$$

$$\ddot{\theta} + \dfrac{g}{l} \sin \theta = 0$$

을 얻습니다.

여러분은 이 수식 전개에서 이상한 점을 느끼셨어야 합니다. 라그랑주 운동방정식을 얻을 때 좌표계를 분명 고정된 직교 좌표로 설정했습니다. 그러나 여기서는 $\theta$ 좌표를 이용했습니다. 그렇다면 임의의 좌표계를 가져와도 라그랑주 운동 방정식이 성립하는 것을까요? 이에 대한 내용에 대해서 계속 설펴보겠습니다.