[역학 1] 진동 (7) - 중첩 원리: 푸리에 급수

7. 중첩 원리: 푸리에 급수

7.1. 선형 진동자

진동자의 운동을 기술하는 미분방정식은 선형 미분방정식이었습니다. 따라서

$$\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = \mathsf{L}(x(t))$$

라 하면 $\mathsf{L}$은 선형변환입니다. 즉,

$$\mathsf{L}(ax_1(t) + x_2(t)) = a \mathsf{L}(x_1(t)) + \mathsf{L}(x_2(t))$$

을 만족합니다. 이 성질을 이용하면 $x(t)$를 구할 수 있습니다. 왜냐하면 만약

$$\mathsf{L}(x_1(t)) = f_1(t), \quad \mathsf{L}(x_2(t)) = f_2(t)$$

임을, 그리고 구동력이 $F(t) = m(c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t))$임을 안다면

$$x(t) = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t)$$

임을 알 수 있기 때문입니다.

 

$F(t)$가 임의의 모양일 경우에도 $x(t)$를 구하는 방법은 다다음 글에서 살펴보고, 이번 글에서는 사인파처럼 주기성이 있는 구동력이 가해질 때를 살펴보겠습니다.

 

7.2. 푸리에 급수

푸리에 급수는 주기가 있는 함수를 삼각함수의 급수로 표현하는 것을 의미합니다. 구동력 $F(t)$에 대하여 주기는 $\tau = \dfrac{2\pi}{\omega}$이고,

$$F(t) = \dfrac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))$$

라 표현한다면

$$a_n = \dfrac{2}{\tau}\int_{0}^{\tau}F(t')\cos(n\omega t')dt' = \int_{-\scriptsize{\dfrac{\pi}{\omega}}}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{\omega}}}F(t')\cos(n\omega t)dt' \qquad (3.7.1)$$

$$b_n = \dfrac{2}{\tau}\int_{0}^{\tau}F(t')\sin(n\omega t')dt' = \int_{-\scriptsize{\dfrac{\pi}{\omega}}}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{\omega}}}F(t')\sin(n\omega t)dt' \qquad (3.7.2)$$

을 만족시킵니다. 사인과 코사인의 계수를 알았다면 푸리에 급수를 다음과 같은 형식으로 표현할 수도 있습니다.

$$F(t) = \dfrac{\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \cos(\omega_n t - \phi_n)$$

 

 

7.3. 주기가 있는 구동력에 대한 선형 진동자의 응답

우리는 사인형 구동력 $F(t) = mA\cos(\omega t)$에 대해서 $x(t)$가 

$$\dfrac{A}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\omega^2\beta^2}}\cos(\omega t - \delta), \quad \delta = \tan^{-1} \left( \dfrac{2\omega\beta}{\omega_0^2 - \omega^2} \right)$$

임을 알고 있습니다. 따라서 푸리에 급수로 나타내어지는 주기가 있는 구동력에 대해서

$$\begin{align} x(t) = \dfrac{1}{m}\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n \cos(n \omega t - \delta_n) + b_n \sin(n \omega t - \delta_n)}{\sqrt{(\omega_0^2 - n^2\omega^2)^2 + 4n^2\omega^2\beta^2}}, \\[3pt] \delta_n = \tan^{-1} \left( \dfrac{2n\omega\beta}{\omega_0^2 - n^2\omega^2} \right) \end{align}$$

입니다.

 

7.4. 푸리에 급수 예제

Example 3.6. A sawtooth force function is shown in Figure 3-19. Find the coefficienrs $a_n$ and $b_n$ and express $F(t)$ as a Fourier series.

Figure 3-19