[역학 1] 뉴턴 역학 (4) - 에너지

5. 에너지

5.1. 에너지와 시간

역학적 에너지가 보존되는 상황을 생각해봅시다. 일차원 공간에서 $E = \dfrac{1}{2}mv^2 + U(x)$이므로 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

$$t = \int \dfrac{dx}{v} = \int \dfrac{\pm dx}{\sqrt{\displaystyle \frac{2}{m}(E - U(x))}}$$

 

5.2. 퍼텐셜 에너지와 운동

이번에는 퍼텐셜 에너지로 운동의 모습을 대략적으로 예측해봅시다.

먼저 물체의 에너지가 $E_1$일 때는 점 $x_1$에서 계속 정지해 있습니다.

물체의 에너지가 $E_2$일 때는 $x_2 \le x \le x_3$에 속박되어 운동합니다.

물체의 에너지가 $E_3$일 때는 $x_4 \le x \le x_5$ 또는 $x_6 \le x \le x_7$에 속박되어 운동합니다. 이때 물체가 $x_4 \le x \le x_5$ 영역에 있다가 $x_6 \le x \le x_7$ 영역으로 넘어갈 수는 없습니다.

 

 

5.3. 퍼텐셜 에너지와 평형

이제 안정 평형과 불안정 평형에 대해서 살펴봅시다.

평형점이란, 물체를 놓았을 때 정지한 상태로 유지될 수 있는 지점을 말합니다. 위의 그림에서 $x_0$인 지점이 평형점입니다. 

안정 평형이란 평형점 근방에 물체를 놓았을 때 평형점을 중심으로 진동할 수 있는 상태이고, 불안정 평형이란 평형점 근방에 물체를 놓았을 때 평형점에서 더 멀어지는 방향으로 물체가 움직이는 상태입니다. 위의 그림에서 왼쪽이 안정 평형이고 오른쪽이 불안정 평형입니다.

퍼텐셜 에너지가 여러 번 미분가능하다면 테일러 전개를 할 수 있습니다.

$$U(x) = U(x_0) + (x-x_0) \left. \dfrac{dU}{dx} \right|_{x_0} + \dfrac{(x-x_0)^2}{2!} \left. \dfrac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x_0} + \dfrac{(x-x_0)^2}{3!} \left. \dfrac{d^3 U}{dx^3} \right|_{x_0} + \cdots $$

$x=x_0$가 평형점이라면 $U'(x_0) = 0$이고, $U(x_0)$는 단순히 퍼텐셜 에너지의 상수 차이만을 나타내므로 

$$U(x) \approx \dfrac{(x-x_0)^2}{2} \left. \dfrac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x_0}$$

입니다. 위 그림으로부터 $\left. \dfrac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x_0} > 0$이면 안정 평형, $\left. \dfrac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x_0} < 0$이면 불안정 평형임을 알 수 있습니다.

 

5.4. 퍼텐셜 에너지와 평형 예제

Example 2.12. Consider the system of pulleys, masses, and string shown in Figure 2-15. A light string of length $b$ is  attached at point $A$, passes over a pulley at point $B$ located a distance $2d$ away, and finally attaches to mass $m_1$. Another pulley with mass $m_2$ attached passes over the string, pulling it down between $A$ and $B$. Calculate the distance $x_1$ when the system is in equilibrium, and determine whether the equilibrium is stable or unstable. The pulleys are massless.

Figure 2-15