[역학 1] 뉴턴 역학 (3) - 보존 정리

4. 보존 정리

여러가지 보존 정리에 대해 살펴봅시다.

 

4.1. 선형 운동량 보존 정리

I. 입자의 선형 운동량은 입자에 작용하는 힘이 $0$이면 보존된다.

자유 입자는 식 (2.1.1)에 의하여 $\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{0}$이라는 사실로부터 알 수 있습니다.

 

I'. 힘이 작용하지 않는 방향의 운동량 성분은 보존된다.

$\mathbf{F} \cdot \mathbf{s} = 0$인 일정한 벡터 $\mathbf{s}$를 생각해봅시다. 그러면 $\dot{\mathrm{\mathbf{p}}} \cdot \mathrm{\mathbf{s}} = 0$이므로 이를 시간에 대해 적분하면

$$\mathrm{\mathbf{p}} \cdot \mathrm{\mathbf{s}} = \mathrm{(constant)} \qquad (2.4.1)$$

를 얻습니다.

 

4.2. 각운동량 보존 정리

II. 토크를 받지 않는 입자의 각운동량은 보존된다.

원점에서 위치 벡터 $\mathbf{r}$만큼 떨어진 운동량 $\mathbf{p}$인 입자의 각운동량은 다음과 같이 정의됩니다.
$$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \qquad (2.4.2)$$
그리고 같은 원점에 대하여 위치 벡터 $\mathbf{r}$만큼 떨어진 지점의 힘 $\mathbf{F}$에 대하여 토크는 다음과 같이 정의됩니다.
$$\mathbf{N} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \qquad (2.4.3)$$
이제 각운동량을 시간에 대해 미분해봅시다.
$$\begin{align} \dot{\mathbf{L}} &= \dfrac{d}{dt} (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{p}} \\[3pt] & = \dot{\mathbf{r}} \times (m \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r} \times \mathbf{F} \end{align}$$
따라서 다음 식을 얻습니다.
$$\dot{\mathbf{L}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{N} \qquad (2.4.4)$$

 

 

4.3. 에너지 보존 정리

III. 보존장에서 입자의 총 에너지는 시간에 대해 일정하다.

입자에 힘 $\mathbf{F}$가 가해져서 상태 $1$에서 상태 $2$가 되었을 때 입자에 가해진 일은 다음과 같습니다.

$$\begin{align} W_{12} & = \int_{1}^{2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{1}^{2} \left( m \dfrac{d\mathbf{v}}{dt} \right) \cdot \mathbf{v} dt \\[3pt] & = \int_{1}^{2} \dfrac{m}{2} \dfrac{d}{dt}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})dt = \int_{1}^{2} d\left( \dfrac{1}{2}mv^2 \right) \\[3pt] & = \dfrac{1}{2} m \left( v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \right) = T_2 - T_1 \qquad (2.4.5) \end{align}$$

한편 많은 물리적 상황에서는 입자의 운동에너지 변화 없이 입자를 $1$에서 $2$로 이동시키는 데 든 일의 양이 경로와 무관한 경우가 있습니다. 대표적으로 중력장이 있습니다. 중력장에서는 어떤 경로로 물체를 서서히 들어올리는 처음 위치와 나중 위치만 같다면 물체를 이동시키는 데 드는 일의 양은 $mg\Delta h$입니다. 이런 경우에는 $1$에서 $2$로 이동할 때 받은 일만큼 $2$에서 $1$로 갈 때 일을 할 수 있는 능력을 가지며, 이를 퍼텐셜 에너지라고 합니다. 따라서 퍼텐셜 에너지의 차이는 다음과 같이 정의됩니다.

$$U_1 - U_2 = \int_{1}^{2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \qquad (2.4.6)$$

그리고 식 (2.4.6)은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$$\mathbf{F} = -\mathrm{grad \,} U = - \nabla U \qquad (2.4.7)$$

여기서 퍼텐셜에너지 $U$는 위치 $\mathbf{r}$, 시간 $t$, 그리고 속도 $\mathbf{v}$의 함수이지만 일단 역학 수준에서는 속도의 함수인 경우는 다루지 않기로 합니다. 한편 입자의 총 에너지는 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합입니다.

$$E = T + U$$

따라서 에너지의 시간에 대한 전미분은 다음과 같습니다.

$$ \dfrac{dE}{dt} = \dfrac{dT}{dt} + \dfrac{dU}{dt}$$

이 식을 정리하면 $\mathbf{F} = - \nabla U$인 경우에

$$ \begin{align} \dfrac{dE}{dt} & = \dfrac{dT}{dt} + \dfrac{dU}{dt} \\[3pt] & = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} mv^2 \right) + \left( \sum_{i} \dfrac{\partial U}{\partial x_i} \dfrac{dx_i}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial t} \right) \\[3pt] & = \mathbf{F} \cdot \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} + \nabla U \cdot \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial t} \\[3pt] & = \dfrac{\partial U}{\partial t} \qquad (2.4.8) \end{align}$$

만약 $U$가 시간에 대한 함수가 아니고 오로지 위치에 대한 함수일 때 이 장을 보존장이라고 합니다. 보존장에서는 $\dfrac{\partial U}{\partial t} = 0$이므로 에너지가 시간에 대해 일정합니다.